自分は字があまりきれいな方ではないので、パソコンで履歴書と職務経歴書を作成したいと思っています。手書きじゃないとだめでしょうか？

パソコンで応募書類を作成していただいても問題ございません。

最近ではメールで応募書類の送付を求められるケースも増えてきておりますし、見やすさやパソコンスキルを計れるという観点から、パソコンでの作成を推奨する企業も多いようです。パソコンで作成する場合は、市販の履歴書に書式をあわせるなど、見やすいレイアウトを考えるようにしましょう。

ただ、企業によっては、手書きでない応募書類への反応が良くない場合もあるかと思います。心配であれば、提出を求められた際に直接確認してみてはどうでしょうか。